Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots +\frac{1}{n^3}\: <\: \frac{3}{2}-\frac{1}{2n^2} \quad (n=2,3,...)$
m.a.w.	$\sum_{i=1}^{n} \; \frac{1}{i^{\,3}}\; <\: \frac{3}{2}-\frac{1}{2n^2} \quad (n=2,3,...)$
Bewijs :
Deel I :	Voor de kleinste n-waarde, nl. 2 is $LL=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^2}=1+\frac{1}{8}=\frac{9}{8}$ $RL=\frac{3}{2}-\frac{1}{2.2^2}=\frac{12}{8}-\frac{1}{8}=\frac{11}{8}$ LL < RL → O.K.

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II :	Gegeven :	$\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots +\frac{1}{k^3}\: <\: \frac{3}{2}-\frac{1}{2k^2}$ ^( I.H.)
	Te bewijzen :	$\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots +\frac{1}{k^3}+\frac{1}{(k+1)^3}\: <\: \frac{3}{2}-\frac{1}{2(k+1)^2}$
	Bewijs :	$LL \: <\: \frac{3}{2}-\frac{1}{2k^2}+\frac{1}{(k+1)^3}$
		__ $=\: \frac{3}{2}-\frac{(k+1)^3-2k^2}{2k^2.(k+1)^3}$
		__ $=\: \frac{3}{2}-\frac{k^3\!+3k^2\! +3k\! +\! 1\; -\; 2k^2}{2k^2.(k+1)^3}$
		__ $=\: \frac{3}{2}-\frac{k^3\!+k^2\! +3k\! +\! 1}{2k^2.(k+1)^3}$
		__ $=\: \frac{3}{2}- \frac{1}{2(k+1)^3}\cdot \frac{k^3\!+k^2\! +3k\! +\! 1}{k^2.(k+1)}$
		__ $=\: \frac{3}{2}- \frac{1}{2(k+1)^3}\cdot \frac{k^3\!+k^2\! +3k\! +\! 1}{k^3+k^2}$
		__ $<\: \frac{3}{2}- \frac{1}{2(k+1)^3}$
		__ = RL Q.E.D.
		In een ongelijkheid van de vorm a < b− c d mag je "straffeloos" het rechterlid groter maken. Dit kan je doen door −c d groter te maken, m.a.w. c d kleiner te maken. Als c en d positief zijn kan je c d kleiner maken door d weg te laten als d > 1. ^{Hier speelt de breuk} $\frac{k^3\!+k^2\! +3k\! +\! 1}{k^3+k^2}$ ^{de rol van d en die breuk is duidelijk groter dan 1}

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 2 (Deel I), n = 3 (Deel II),
n = 4 (Deel II), n = 5 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP